Smalltalk - Pluszeichensetzen

Smalltalk

Pluszeichensetzen

toby84 - 23.06.22    
es folgt ein gestaffeltes rätsel und es wird sehr mathematisch. jede teilaufgabe ist schwerer als die vorherige. rätsel 1 und 2 sind nicht allzu schwer. das dritte sollte gut machbar sein, wenn man ein grundwissen zu stellenwertsystemen hat. für die crackfrage habe ich die lösung selbst noch nicht komplett ausgerechnet, aber ich weiß zumindest, wie es geht 😄 wenn die jemand löst, setze ich mich auch nochmal dran. sonst erkläre ich nur das prinzip der lösung.

Rätsel 1
Aus der Karriere-Sparte von Spiegel Online von Holger Dambeck und Michael Niestedt (06.10.2019, 07.54 Uhr):

Gegeben ist die Gleichung:

123456789 = 99

Nun dürfen beliebig viele Additionszeichen (+) zwischen die Ziffern auf der linken Seite gesetzt werden. Am Ende soll die Gleichung stimmen. Es gibt mehrere Lösungen für dieses Rätsel.

Rätsel 2
Wie kann man alle Lösungen einfach ermitteln? Was haben sie alle gemeinsam?

Rätsel 3
Gibt es Lösungen, wenn Pluszeichen in 12345678=88 im Stellenwertsystem 9 eingefügt werden dürfen? (Antworten natürlich nur mit Begründung)

Crackfrage
Wie viele Lösungen gibt es für Pluszeichen in 1234...Y=YY im Stellenwertsystem 36=Y+1?

Lösungen nur per PN an mich
Logystem - 23.06.22    
Rätsel 3 ist für mich unverständlich, auch der Begriff Stellenwertsystem
Und im Rätsel 4: Warum soll 36 = y + 1 sein und nicht 35 = y, und wieder auch das Stellenwertsystem?
toby84 - 23.06.22    
weil das stellenwertsystem bei 0 anfangt, es geht also von 0 bis 35 und hat somit 36 ziffern. so wie das dezimalsystem 10 ziffern von 0 bis 9 hat.

das dezimalsystem ist ein stellenwertsystem, das jeder kennt. ein anderes, sehr gebräuchliches stellenwertsystem ist das binärsystem, mit dem computer üblicherweise rechnen (quantencomnputer ausgenommen, die arbeiten eher pseudobinär 😁)
toby84 - 23.06.22    
stillschweiger löst
rätsel 1 und 2 👏
toby84 - 23.06.22    
Logystem löst
rätsel 1
toby84 - 23.06.22    
applaus vergessen 😄👏
gammapappa - 24.06.22    
Frage zum 9.er Stellensystem: Beispiele
10=1*9+0=9
11=1*9+1=10
35=3*9+5=32
88=8*9+8=80
100=1*9^2+0*9+0=81
254=2*9^2+5*9+4=211
Liege ich da richtig?
toby84 - 24.06.22    
das sieht für mich alles korrekt aus 🙂
gammapappa - 24.06.22    
Noch eine Frage:
die 88 auf der rechten Seite der Gleichung ist auch im 9er System,
also im Dezimalsystem gleich 80? oder ist sie im Dezimalsystem =88?
toby84 - 24.06.22    
ja auch die rechte seite ist im nonalsystem.
toby84 - 24.06.22    
mr20 löst alle vier aufgaben und erklärt die dritte besser als ich. ich bin sehr beeindruckt 👏
toby84 - 24.06.22    
gammapappa hat die rätsel 1 bis 3 gelöst, wobei er im dritten alles hart durchgerechnet hat. ist zwar umständlich, aber auch das muss man erst mal können 🙂👏
toby84 - 24.06.22    
dabei fällt mir auf, dass wir jetzt alles genau einmal durch haben. von 1 bis 4 gelösten rätseln 🙂

kommt leute, macht mit. das erste rätsel bekommen sicher viel mehr hin.
Alapin2 - 24.06.22    
Toby : Mache nur mit, wenn Du auch mein reingestelltes Selbstmatt probierst 😜.
toby84 - 24.06.22    
ja hab vorhin schon kurz reingeschaut. also ein motiv fällt direkt ins auge. aber dafür brauche ich mehr zeit 🙂
Alapin2 - 24.06.22    
Mir fiel, nur für die erste Frage, auch schon ein Motiv ins Auge...
Die anderen Fragen :??? Hier was Leichtes :
Hier gibt es 3 Fehler :
a) 2+2=4
b) 4 : 1/2 =2
c) 3 1/5 mal 3 1/8 = 10
d) 7-(-4) =11
e) - 10 (6 - 6) = - 10
😁😜😜
Logystem - 24.06.22    
Ist der 3. Fehler vielleicht das Ergebnis des Fehlerzählens?
toby84 - 24.06.22    
das wäre dann die unentscheidbare aussage. wie 'dieser satz ist eine lüge'.
Alapin2 - 24.06.22    
Timi und Logystem, hehehe! 👏👏😜
toby84 - 25.06.22    
alapin2 hält wort und löst rätsel 1 🙂👏
toby84 - 26.06.22    
will noch jemand? sonst löse ich morgen auf
Alapin2 - 26.06.22    
Meine Gagaufgabe weiter oben ( leider spontan hier reingestellt, hätte extra gehört)
: Natürlich sind nur die unter b) und e) laufenden Rechnungen falsch!
Der dritte Fehler, wie von den Lesern bemerkt, war die Fragestellung selbst 😜....
Alapin2 - 26.06.22    
Rechtschreibprogramm :... Mal wieder aus "Lösern" "Lesern" gemacht...
toby84 - 27.06.22    
dann fange ich mal mit den ersten beiden rätseln an:

wenn wir überall ein pluszeichen hinsetzen, gilt:
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

durch streichen von pluszeichen wollen wir erreichen:
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 99

was passiert, wenn wir an einer beliebigen stelle das pluszeichen rausnehmen? nehmen wir beispielsweise die 23, so haben wir durch die änderung 20+3 statt 2+3. wir fügen also das zehnfache der ziffer hinzu statt das einfache, erreichen also eine differenz des neunfachen der linken ziffer. es ist egal, wo wir das pluszeichen entfernen, das ist immer der fall.

bisher haben wir 45, wir brauchen 99, also müssen wir die werte irgendwie um 99-45 = 54 erhöhen. zum glück ist 54 ein vielfaches von 9, sonst wäre das nicht möglich 🙂

54/9 = 6. wir können also beliebig da pluszeichen entfernen, wo sich links insgesamt die summe 6 ergibt. das sind:

1+2+3+4+5+67+8+9 = 99
12+3+4+56+7+8+9 = 99
1+23+45+6+7+8+9 = 99


das sind alle möglichen lösungen für rätsel 1.

kurzer exkurs: theoretisch könnte man auch pluszeichen so entfernen, dass dreistellige zahlen entstehen, aber wir hätten dann offenischtlich immer mehr als 99 auf der linken seite stehen.

die antwort auf rätsel 2 ist, dass die summe der zehnerziffern immer 6 ergeben muss, wie wir oben gesehen haben.

später folgen die lösungen zu den beiden anderen rätseln.
toby84 - 27.06.22    
rätsel 3

tatsächlich haben wir vorhin das rätsel 3 schon prinzipiell gelöst. wir müssen unsere überlegungen nämlich nur ins stellenwertsystem 9 übertragen.

wir machen mal den schritt zurück, wie johannes kückens sagen würde (das ist werbung für den podcast "sag mal, du als physiker", und ich bekomme leider keinen cent dafür).

wie funktioniert ein stellenwertsystem? das grundverständnis dafür ist durchaus für jeden relevant, weil jeder mit dem dezimalsystem rechnet. es ist schon sinnvoll, zu wissen, was das eigentlich ist.

ein stellenwertsystem ist erst mal eine methode, um zahlen effektiv darzustellen. obwohl es unendlich viele zahlen gibt, sind wir zumindest theoretisch in der lage, mit dem stellenwertsystem beliebige rationale zahlen darzustellen. und dafür genügen uns nur wenige verschiedene ziffernzeichen. theoretisch können das beliebige und vor allem beliebig viele ziffernzeichen sein. dass wir heutzutage mit dem dezimalsystem rechnen, liegt wohl einfach an der anzahl der finger an unseren händen. es gilt: je mehr verschiedene ziffernzeichen es gibt, desto mehr zeichen muss man sich merken, aber desto kürzer werden die zahlendarstellungen am ende sein und umgekehrt. das kann man sich am binärsystem (oder dualsystem) verdeutlichen:

128 im dezimalsystem = 10000000 im binärsystem. man braucht also nur zwei verschiedene ziffernzeichen, muss dafür aber in diesem beispiel acht ziffern verwenden, um dieselbe zahl darstellen zu können, für die man im dezimalsystem nur drei ziffern braucht.

aber was sagt die zeichenfolge 128 eigentlich aus? die zahlen 1, 2 und 8 kennen wir gut und können problemlos damit rechnen. aber was ist das für eine rechnung, die wir hier durchführen? sie funktioniert folgendermaßen:

für eine zeichenfolge ABC im dezimalsystem gilt: ABC = 10^2 x A + 10^1 C B + 10^0 x C = 100A + 10B + 1C.

die ziffer ganz rechts ist also quasi die stelle 0 und wird deshalb mit 10^0 multipliziert. und während wir nach links wandern, wird der exponent über der 10 immer um 1 erhöht. das ist das grundprinzip eines stellenwertsystems.

zurück zur aufgabe:
als wir den unterschied von 23 zu 2+3 angeschaut haben, haben wir gesehen, dass die differenz 2 x (10-1) ist. die 10 kommt daher, dass wir uns im dezimalsystem befinden. das können wir aber in jedem beliebigen anderen system genauso machen. im nonalsystem ist der faktor (9-1) = 8.

gesucht ist:
1(+)2(+)3(+)4(+)5(+)6(+)7(+)8=88 (nonal). das sind, wie wir gerade gelernt haben 9^1 x 8 + 9^0 x 8 = 72 (dezimal) + 8 = 80 (dezimal).

es gilt
1+2+3+4+5+6+7+8+= 36 (dezimal).

jetzt schauen wir wieder, wie groß die differenz zwischen aktueller und gewünschter summe ist:

80 - 36 = 44. das ist nicht durch 8 teilbar, also gibt es keine lösung.

rätsel 4 kommt später.
toby84 - 27.06.22    
kommen wir nun zu rätsel 4:

der anfang funktioniert wieder wie zuvor. wir berechnen erst 36^1 x Y + 36^0 x Y (oder einfach 36^2 -1, das ist einfacher zu schreiben. warum man das so umformen kann. dürfte man selbst erkennen können, wenn man bis hierher mitgelesen hat 😄 sonst einfach nochmal fragen) und ziehen davon die summe von 1 bis 35 ab.

YY = 36^2 -1 = 36*36 -1 = 1295
summe(1-35) = 630

YY - summe(1-35) = 1295 - 630 = 665

unser faktor für das weglassen von pluszeichen ist 36-1 = 35.

665/35 = 19 und jetzt haben wir wieder dasselbe prinzip wie in rätsel 2. wir dürfen uns beliebige zweierkombinationen basteln, die zusammen 19 ergeben. wobei es die einschränkung gibt, dass wir keine direkt nebeneinanderliegenden zahlen verwenden dürfen, weil beispielsweise die 23 die '3' schon belegt. es muss also immer mindestens eine ziffer abstand dazwischen sein, so wäre die nächste mögliche zahl die 45 und wir hätten folglich die '36er-ziffern' (in anlehnung an zehnerziffern) 2 und 4.

da kommen schon einige kombinationen zusammen. ich zitiere jetzt mr20, weil er das schön aufgelistet hat und ich gerade zu faul bin 😁

Das sind 19; 1 und 18; 2 und 17; 3 und 16; ... 8 und 11;
1 und 3 und 15; 1 und 4 und 14; ... 1 und 8 und 10;
2 und 4 und 13; 2 und 5 und 12; ... 2 und 7 und 10;
3 und 5 und 11; 3 und 6 und 10; 3 und 7 und 9;
4 und 6 und 9;
1 und 3 und 5 und 10; 1 und 3 und 6 und 9;
1 und 4 und 6 und 8
(es gibt ja die Ziffern 0 bis 35)
Also zusammen 26 Lösungen.

danke nochmal an die vier, die so mutig waren und mitgemacht haben 👏
die nächste aufgabe wird wieder ganz unmathematisch 🙂