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#matherätsel

hier mal wieder ein hübsches rätsel, das ich beim stöbern gefunden habe. es ist erstaunlich leicht zu lösen. ein bisschen grübeln und dann erhält man das ergebnis mit einem taschenrechner in einer minute. die quelle nenne ich bei der auflösung.

Schreiben Sie alle ganzen Zahlen von 1 bis 500 auf ein Blatt Papier. Wählen Sie dann zwei, drei, vier oder fünf dieser Zahlen aus, addieren sie und teilen die Summe durch 13. Streichen Sie danach die ausgewählten Zahlen und fügen dafür den Divisionsrest der Liste hinzu. Dieses Verfahren wiederholen Sie so oft, bis nur noch zwei Zahlen auf Ihrem Blatt stehen. Wenn eine dieser beiden Zahlen 102 ist, welches ist dann die andere?

lösungsvorschläge bitte nur per PN an mich.

Kann ich also die 102 nicht zu den ""zwei, drei, vier oder fünf" ausgewählten Zahlen nehmen,welche dann ersetzt werden?

Das steht ja so nicht da. Es steht nur da, dass am ende eine 102 da stehen muss. Wie du das bewerkstelligst, ist dir überlassen.

Da ist irgendwie ein Denkfehler... weil der hinzugefügte Divisionsrest kann ja eigentlich nur kleiner als 13 sein?

Da ist kein denkfehler. Der rätseltext gibt dir das nicht vor. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen, denn alles weitere ist teil des denkprozesses im rahmen der lösungsfindung.

GM_Diva hat gelöst 👏
mr20 hat gelöst 👏

cutter hat gelöst 👏

manucoding hat gelöst 👏

will hier noch jemand? sonst löse ich morgen auf.

dann folgt nun die lösung:

egal welche und wie viele zahlen man addiert und die restklasse bildet, ist das ergebnis immer eine zahl zwischen 0 und 12. das wird hier einfach immer wieder angewandt. wieviele zahlen dabei jeweils einzeln addiert werden, ist egal, denn das ergebnis wird immer gleich sein, egal in welcher reihenfolge man die zahlen addiert (assoziativgesetz). wir wissen, dass am ende die zahl 102 auf dem zettel steht. diese kann nicht das resultat der streichung von anderen zahlen sein, weil sie nicht im bereich von 0 bis 12 liegt. da nicht mehr 500 zahlen auf dem zettel stehen, muss mindestens eine zahl auf dem zettel stehen, die das ergebnis so einer streichung ist. da laut angabe genau zwei zahlen auf dem zettel stehen, ist die sache damit klar. die erste zahl ist die 102 und die zweite ist die schrittweise summe aller anderen zahlen modulo 13.

wenn aber egal ist, in welcher reihenfolge die zahlen addiert werden, kann man auch einfach auf einen schlag alle addieren und die 102 subtrahieren. dafür muss man die summenformel kennen oder sie googeln.

die summe der zahlen von 1 bis 500 ist:

500 * 501 / 2 = 250 * 501

mr20 hat mich darauf gebracht, dass man auch dafür keinen taschenrechner braucht, denn vielfache von 13 kann man auch aus den faktoren werfen. ich finde es übrigens sehr stilvoll, dass er die aufgabe beim joggen gelöst hat 😉 ich überschlage also diesmal im kopf und suche jeweils das nächstekleinere vielfache von 13, das kleiner als die faktoren ist:

13*20 = 260, also 13*19 = 247
13*40 = 520, 13*38 = 494

wir können also statt
250 * 501 auch rechnen mit
(250 - 247) * (501-494), und das sind 3 * 7 = 21, restklasse 8

nun müssen wir die 102 noch abziehen, denn die wurde ja noch nicht addiert:
7*13 = 91, also hat 102 die restklasse
102-91 = 11.

8 - 11 = 21-11 = 10

und das ist das ergebnis.

falls das am schluss zu unübersichtlich war, hier nochmal eine kurze zusammenfassung: wir haben alle zahlen von 1 bis 500 aufsummiert und die 102 wieder subtrahiert. und dann haben wir alle vielfachen von 13 rausgeworfen, übrig blieb 10. fertig.

erweitert: quelle vergessen:
spektrum.de/raetsel/die-verflixte-dreizehn/1575738